En este apunte práctico voy a desarrollar una explicación sobre las ecuaciones cuadráticas, intentando hacer el tema lo más sencillo que me resulte posible.

Las ecuaciones cuadráticas siempre aparecen en muchos exámenes y en planes de estudios, por lo que con esto voy a crear mi propio apunte para entender de una vez por todas el tema.

Esta explicación va a necesitar atravesar varias capas…como las capas de una cebolla. Por favor, no escapen del sitio todavía, prometo que todo va a tener sentido al final.

El plan es el siguiente: Primero vamos a revisar una explicación técnica. Luego voy a ir poco a poco tratando de explicar cada parte, para que podamos visualizar el asunto.

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo grado que tiene la forma general: \[ax^2 + bx + c = 0 \quad \text{con } a \neq 0.\]

Componentes clave

– Coeficientes:

– \(a\): Coeficiente del término cuadrático, con la condición de que \(a \neq 0\).

– \(b\): Coeficiente del término lineal.

– \(c\): Término constante o independiente.

– Variable:

– \(x\): Es la incógnita cuyo valor se busca determinar.

– Raíces:

– Son los valores de \(x\) que satisfacen la ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\).

– Se pueden encontrar utilizando la fórmula cuadrática: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}.\]

– Discriminante:

El discriminante de la ecuación cuadrática se define como: \[D = b^2 – 4ac,\] y permite determinar la naturaleza de las raíces:

– Si \(D > 0\), la ecuación tiene dos raíces reales y distintas.

– Si \(D = 0\), la ecuación tiene una única raíz real, con multiplicidad dos (raíz doble).

– Si \(D < 0\), la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas, y no tiene solución real.

No, ahora si realmente… ¿Qué es una ecuación cuadrática?

Desde un punto de vista gráfico, la función cuadrática \[f(x) = ax^2 + bx + c\] representa una parábola en el plano cartesiano.

El término cuadrático \(ax^2\) es el responsable de la forma característica curva de la parábola.

– Dirección de la parábola: El signo del coeficiente \(a\) determina hacia dónde abre la parábola:

– Si \(a > 0\), la parábola tiene un mínimo y abre hacia arriba.

– Si \(a < 0\), la parábola tiene un máximo y abre hacia abajo.

– Vértice de la parábola: El vértice es el punto extremo (máximo o mínimo) de la parábola, y su coordenada \(x\) está dada por: \[x = -\frac{b}{2a}\] Este valor es especialmente importante en problemas de optimización, ya que representa el valor donde la función alcanza su máximo o mínimo. Se puede pensar el vértice como el punto más bajo (mínimo) de la parábola cuando abre hacia arriba, y el punto más alto (máximo) cuando abre hacia abajo.

– Eje de simetría: La recta vertical definida por \(x = -\dfrac{b}{2a}\) corresponde al eje de simetría de la parábola. Esto significa que la parábola es simétrica con respecto a esta recta.

¿Ecuación o función cuadrática?

Es común confundir los términos ecuación cuadrática y función cuadrática, ya que ambos conceptos están estrechamente relacionados, pero tienen significados ligeramente distintos:

– Función cuadrática: Es una regla que asigna a cada valor de \(x\) un valor único mediante la expresión: \[f(x) = ax^2 + bx + c, \quad \text{con } a \neq 0.\] Su propósito es describir cómo cambia el valor de \(f(x)\) a medida que varía \(x\). Gráficamente, representa una parábola.

– Ecuación cuadrática: Surge cuando igualamos la función cuadrática a un valor específico, normalmente a cero: \[ax^2 + bx + c = 0.\] En este caso, el objetivo es encontrar los valores de \(x\) que hacen cierta esta igualdad, es decir, las raíces o soluciones de la ecuación.

– Relación entre ambos: La ecuación cuadrática está basada en la función cuadrática. Resolver la ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\) equivale a encontrar los valores de \(x\) para los cuales \(f(x) = 0\), es decir, las intersecciones con el eje \(x\).

En resumen: Una función cuadrática describe una relación, mientras que una ecuación cuadrática busca soluciones específicas.

¿Qué es el discriminante?

De lo anterior, sabemos que los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) son los componentes de la ecuación cuadrática \(ax^2 + bx + c = 0\).

Pero… ¿qué es el discriminante?

El discriminante (\(D\) o \(\Delta\)) es un número que se calcula a partir de los coeficientes de la ecuación cuadrática usando la fórmula: \[D = b^2 – 4ac\] Este número no es la solución de la ecuación, pero determina la naturaleza y cantidad de las raíces reales.

¿Qué información nos da el discriminante?

El discriminante clasifica las raíces de la ecuación cuadrática en tres casos:

– Caso 1: \(D > 0\) (Discriminante positivo) Dos raíces reales distintas. Ejemplo: Si \(D = 25\), las raíces pueden ser \(x = -1\) y \(x = -6\) (como en la ecuación \(x^2 + 7x + 6 = 0\)). Gráficamente: La parábola cruza el eje \(X\) en dos puntos.

– Caso 2: \(D = 0\) (Discriminante nulo) Una raíz real doble (repetida). Ejemplo: Si \(D = 0\), la raíz es \(x = 3\), pero se escribe como \((x – 3)^2 = 0\). Entonces hay una solución real (\(x = 3\)), pero es una raíz doble (aparece dos veces en la factorización). Gráficamente: La parábola toca el eje \(X\) en su vértice.

– Caso 3: \(D < 0\) (Discriminante negativo) Dos raíces complejas conjugadas (no reales). Ejemplo: Si \(D = -16\), las raíces son \(x = -\frac{3}{2} \pm 2i\). Gráficamente: La parábola no cruza el eje \(X\); “flota” por encima o por debajo.

El discriminante lo utilizamos dentro de la fórmula resolvente de la cuadrática.

¿Qué es la fórmula resolvente de la cuadrática?

Esto se conoce también como la fórmula para resolver la función cuadrática. Tiene la siguiente forma:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Su resultado nos da los ceros o **raíces** de la ecuación.

Ya mencioné ampliamente la parte del discriminante, que lo usamos dentro de esta fórmula. Pero hay otro detalle a tener en cuenta: En la resolvente encontramos un signo \(+\) y \(-\) **junto al discriminante**, esto es lo que genera dos soluciones. Recordemos que son dos soluciones si el discriminante es distinto de cero; si el discriminante es cero, ambas soluciones coinciden.

¿Qué es una raíz de la función?

Las raíces son las “\(x\)” que **satisfacen** la ecuación. Se trata de los valores que al sustituirlos en la ecuación producen un resultado igual a cero. Es decir, las raíces son las “\(x\)” que cumplen:

\[f(x) = ax^2 + bx + c = 0\]

Las raíces también pueden aparecer mencionadas como los **ceros** de la función, los puntos donde el gráfico de la función intersecta el **eje \(X\)** en el plano cartesiano (en el caso de raíces reales).

Tres ejemplos de ecuación cuadrática

Cuadrática con dos raíces reales distintas

Ejemplo 1: Resolver la ecuación \[x^2 – 5x + 6 = 0.\]

– Coeficientes: \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)

– Discriminante: \[D = (-5)^2 – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1 > 0,\] lo que indica **dos raíces reales distintas**.

– Raíces: \[x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2},\] entonces, \[x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 – 1}{2} = 2.\]

– Factorización: \((x – 3)(x – 2) = 0\).

Cuadrática con una raíz real doble

Ejemplo 2: Resolver la ecuación \[x^2 – 4x + 4 = 0.\]

– Coeficientes: \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 4\)

– Discriminante: \[D = (-4)^2 – 4(1)(4) = 16 – 16 = 0,\] lo que indica **una raíz real doble (repetida)**.

– Raíz: \[x = \frac{4}{2} = 2.\]

– Factorización: \((x – 2)^2 = 0\).

Cuadrática con dos raíces complejas conjugadas

Ejemplo 3: Resolver la ecuación \[x^2 + 2x + 5 = 0.\]

– Coeficientes: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\)

– Discriminante: \[D = 2^2 – 4(1)(5) = 4 – 20 = -16 < 0,\] lo que indica **dos raíces complejas conjugadas (no reales)**.

– Raíces: \[x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i.\]

– Factorización: \((x + 1 – 2i)(x + 1 + 2i) = 0\).

a, b, c de vuelta a las partes de la función cuadrática

Ya sabemos que la función cuadrática tiene esta forma:

\[ax^2 + bx + c = 0\]

Y al principio del apunte decíamos, por ejemplo, que \(b\) es el término lineal. ¿Qué significa eso?

Revisamos cada parte una vez más, detallando su función:

1. \(a\) (término cuadrático)

Qué es: Coeficiente de \(x^2\) (la variable elevada al cuadrado).

Ejemplo: En \(3x^2 – 5x + 2 = 0\), \(a = 3\).

Importancia:

– Define la curvatura de la parábola: – Si \(a > 0\) → Parábola abre hacia arriba (\(\cup\)). – Si \(a < 0\) → Parábola abre hacia abajo (\(\cap\)).

– Controla el “ancho” de la parábola: – \(|a|\) grande → Parábola estrecha (ej: \(5x^2\)). – \(|a|\) pequeño → Parábola ancha (ej: \(0.2x^2\)).

– Esencial para que la ecuación sea cuadrática: – Si \(a = 0\), ¡no es cuadrática! (sería lineal).

En la fórmula resolvente: Aparece en el denominador: \(\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

2. \(b\) (término lineal)

Qué es: Coeficiente de \(x\) (la variable sin elevar).

Ejemplo: En \(3x^2 – 5x + 2 = 0\), \(b = -5\).

Importancia:

– Influencia en la posición horizontal del vértice: – Coordenada \(x\) del vértice: \(x_v = -\frac{b}{2a}\).

– Determina la simetría: – El eje de simetría es la recta vertical \(x = -\frac{b}{2a}\). – Si \(b = 0\): La ecuación es simétrica respecto al eje \(y\) (ej: \(2x^2 – 8 = 0\)).

En el discriminante: Parte crucial de \(D = b^2 – 4ac\).

3. \(c\) (término independiente o constante)

Qué es: Término sin variable (constante numérica).

Ejemplo: En \(3x^2 – 5x + 2 = 0\), \(c = 2\).

Importancia:

– Indica el corte con el eje \(y\): Cuando \(x = 0\), \(y = c\) → Punto \((0, c)\).

– Influye en las raíces: Cambia el valor del discriminante \(D = b^2 – 4ac\).

Ecuación cuadrática: algunas otras formas

Los problemas sobre cuadráticas no siempre se nos presentan directamente en la forma:

\[ax^2 + bx + c = 0\]

Algunas veces tenemos que hacer unos pasos extra antes de encontrar los ceros/raíces. Lo que sigue son algunos ejemplos de eso.

1. Funciones cuadráticas en forma vértice

Ecuación: \[f(x) = 2(x – 3)^2 – 8 = 0\]

Paso a paso:

1. Aislar el término cuadrático: \[2(x – 3)^2 – 8 = 0 \implies 2(x – 3)^2 = 8\]

2. Despejar el binomio al cuadrado: \[(x – 3)^2 = \frac{8}{2} \implies (x – 3)^2 = 4\]

3. Aplicar raíz cuadrada (considerando ambas soluciones): \[\sqrt{(x – 3)^2} = \sqrt{4} \implies |x – 3| = 2\] Esto genera dos ecuaciones: \[x – 3 = 2 \quad \text{o} \quad x – 3 = -2\]

4. Resolver cada ecuación: \[x = 3 + 2 = 5; \quad x = 3 – 2 = 1\]

5. Verificar las raíces: \[\text{Para } x = 5: \quad 2(5 – 3)^2 – 8 = 2 \cdot 4 – 8 = 0\] \[\text{Para } x = 1: \quad 2(1 – 3)^2 – 8 = 2 \cdot 4 – 8 = 0\]

Conclusión: Las raíces son \(x = 1\) y \(x = 5\). La ecuación original está en forma vértice: \(a(x – h)^2 + k = 0\)

2. Ecuaciones racionales con términos cuadráticos

Ecuación: \[\frac{x^2 – 4}{x – 1} = 3\]

Paso a paso:

1. Restricción de dominio: \[x – 1 \neq 0 \implies x \neq 1\]

2. Eliminar el denominador (multiplicar ambos lados por \(x – 1\)): \[x^2 – 4 = 3(x – 1)\]

3. Llevar a la forma estándar: \[x^2 – 4 = 3x – 3 \implies x^2 – 3x – 1 = 0\]

4. Aplicar resolvente cuadrática (\(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -1\)): \[D = (-3)^2 – 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13\] \[x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\]

5. Verificar restricciones: \[x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.303; \quad x_2 = \frac{3 – \sqrt{13}}{2} \approx -0.303\] Ambos valores son \(\neq 1\) → Válidos.

Conclusión: Las raíces son \(x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\). Siempre hay que recordar excluir valores que anulen el denominador.

3. Sistemas de ecuaciones con componentes cuadráticas

Sistema: \[\begin{cases} y = x^2 – 5x + 6 \\ y = 2x – 4 \end{cases}\]

Resolvemos:

1. Igualar ambas ecuaciones (puntos de intersección): \[x^2 – 5x + 6 = 2x – 4\]

2. Llevar a la forma estándar: \[x^2 – 7x + 10 = 0\]

3. Identificamos los coeficientes: \[\begin{aligned} a &= 1 \\ b &= -7 \\ c &= 10 \end{aligned}\]

   Sustituimos en la fórmula: \[x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 – 4(1)(10)}}{2(1)}\]

   \[x = \frac{7 \pm \sqrt{49 – 40}}{2}\]

   \[x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2}\]

   \[x = \frac{7 \pm 3}{2}\]

   Entonces las soluciones son: \[x_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5 \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{7 – 3}{2} = 2\]

4. Hallar \(y\) para cada \(x\) (usar la ecuación lineal): \[\text{Si } x = 2: \quad y = 2(2) – 4 = 0 \quad \rightarrow \quad (2, 0)\] \[\text{Si } x = 5: \quad y = 2(5) – 4 = 6 \quad \rightarrow \quad (5, 6)\]

5. Verificar en la cuadrática: \[\text{Para } (2, 0): \quad 2^2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0\] \[\text{Para } (5, 6): \quad 5^2 – 5(5) + 6 = 25 – 25 + 6 = 6\]

Conclusión: Las soluciones del sistema son los puntos \((2, 0)\) y \((5, 6)\). Si lo pensamos de forma gráfica podemos encontrar en esos puntos las intersecciones entre la parábola y la recta. Al igualar funciones, se reduce a una ecuación cuadrática: \(f_{\text{cuad}}(x) = f_{\text{lin}}(x)\)

Conclusión

Con esto le doy un cierre al apunte donde intento simplificar al máximo posible la explicación de las ecuaciones cuadráticas.

Como todo apunte, el mismo puede ser mejorado. ¿Encontraste algún error? ¿Hay algo que pudo haberse explicado de una forma más sencilla? Envíame un correo electrónico contándome tu opinión: gustavo @apunte impensado.com

La seguimos en el próximo apunte.